Đường trung bình của tam giác (2023)

Đường trung bình của tam giác là gì?

Đường trung của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác. Ví dụ: Đoạn MN, NP và PN là 3 đường trung bình của tam giác ABC.

Tính chất của đường trung bình tam giác

Cho tam giác ABC, cho M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC. Vậy MN được gọi là đường trung bình của tam giác ABC. Tính chất của đường MN như sau:

MN//BC
AM/AB = AN/AC
Δ AMN đồng dạng với Δ ABC.

Định lí đường trung bình của tam giác

Định lí 1: Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm của cạnh thứ ba.
Định lí 2: Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.

Ví dụ bài tập tính đường trung bình của hình tam giác

Cho tam giác ABC, điểm D thuộc cạnh AC sao cho AD = 1/2 DC, Gọi M là trung điểm của BC, I là giao điểm của BD và AM. Chứng minh: AI = IM.

Đường trung bình của hình thang

Đường trung bình của hình thang là gì?

Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối trung điểm của hai cạnh bên của hình thang. Ví dụ: Cho hình thang ABCD (AB//CD), M và N lần lượt là trung điểm của AC và BD. Khi đó, đoạn MN chính là đường trung bình của hình thang.

Định lí đường trung bình của hình thang

Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên của hình thang và song song với hai đáy thì đi qua trung điểm của cạnh bên thứ hai.
Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và bằng nửa tổng hai đáy.

Ví dụ bài tập đường trung bình của hình thang

Bài 1: Hình thang ABCD có đáy AB, CD. Gọi E, F, K theo thứ tự là trung điểm của AD, BC, BD. Chứng minh ba điểm E, K, F thẳng hàng.

Hướng dẫn giải: Để chứng minh 3 điểm E, F, K thẳng hàng ta có thể chứng minh 2 trong 3 đoạn EK, FK, EF cùng song song với AB và CD thông qua tính chất đường trung bình của hình thang và hình tam giác.

Xét hình thang ABCD, có:
- E là trung điểm của cạnh bên AD (gt)
- F là trung điểm của cạnh bên BC (gt)
- ⇒ EF là đường trung bình của hình thang ABCD (theo định lí 3)
- Suy ra: EF//AB//CD (1)
Xét tam giác ABD có:
- EK là đường trung bình ⇒ EK//AB (2)
Từ (1) và (2) suy ra: E, F, K thẳng hàng.

Bài 2: Cho hình thang ABCD (AB // CD), M là trung điểm của AD, N là trung điểm của BC. Gọi I, K theo thứ tự là giao điểm của MN với BD, AC. Cho biết AB = 6cm, CD = 14cm. Tính độ dài MI, IK, KN.

Hướng dẫn giải:

Hình thang ABCD có AB // CD có:
- M là trung điểm của AD (gt)
- N là trung điểm của BC (gt)
- Nên MN là đường trung bình của hình thang ABCD
- MN = (AB + CD) / 2 = (6 + 14) / 2 = 10cm
Trong tam giác ADC, ta có:
- M là trung điểm của AD
- MK // CD
- ⇒ AK= KC và MK là đường trung bình của ΔADC
- ⇒ MK = 1/2 CD = 1/2 .14= 7cm
- Vậy: KN = MN – MK = 10 – 7 = 3cm
Xét tam giác ADB, ta có:
- M là trung điểm của AD
- MI // AB nên DI = IB
- ⇒ MI là đường trung bình của tam giác DAB
- ⇒ MI = 1/2 AB = 1/2 .6 = 3cm
- IK = MK – MI = 7 – 3 = 4cm.

Cần lưu ý gì khi làm bài tập đường trung bình của hình thang, tam giác?

Những kinh nghiệm mà gia sư Thành Tâm chia sẻ sau đây được đội ngũ gia sư toán của đúc kết từ các thế hệ học sinh khác nhau. Nó không phải là bí quyết mang lại hiệu quả 100% nhưng ít nhiều cũng sẽ cảm thấy tự tin hơn khi học về đường trung bình của tam giác và hình thang. Cụ thể:

Nắm vững lý thuyết và bản chất của vấn đề.
Phân loại và làm bài tập nhiều từ cơ bản đến nâng cao để rèn luyện kĩ năng làm bài, tư duy và sự kiên nhẫn.
Nộp bài tập về nhà đúng hạn và không bỏ qua bài tập yêu cầu.
Ghi chép đầy đủ và khoa học các khái niệm, định lý liên quan đến nhau để dễ dàng học.
Tránh học vặt và học cho lấy có.
Tìm hiểu thêm về các khái niệm và cách chứng minh tam giác và hình thang.

Conclusion

Qua bài viết này, chúng ta đã tìm hiểu về đường trung bình của tam giác và hình thang. Kiến thức này là cơ bản và quan trọng để hiểu sâu về toán hình. Hy vọng rằng bài viết này sẽ giúp bạn hiểu và giải quyết những thắc mắc về đường trung bình của tam giác và hình thang.